Ο Άλκιμος Γράτσος γεννήθηκε στην Ιθάκη, και ήταν ο τρίτος από τους τέσσερις γιούς του Γεωργίου Δ. Γράτσου, ο οποίος ήδη από το 1902 είχε ιδρύσει την οικογενειακή ναυτιλιακή επιχείρηση. Έχοντας σπουδάσει χημικός, συνδύασε την ναυτιλιακή δραστηριότητα με σημαντικές επενδύσεις στην χερσαία ελληνική βιομηχανία. Διετέλεσε για μεγάλο χρονικό διάστημα πρόεδρος του Ναυτικού Επιμελητηρίου της Ελλάδας.
Ο Γράτσος πήρε διδακτορικό στην χημεία με τον ανώτατο έπαινο από το Πανεπιστήμιο της Ζυρίχης. Επέστρεψε στην Ελλάδα προκειμένου να βρεθεί κοντά στον άρρωστο πατέρα του και λίγο αργότερα τέθηκε επικεφαλής του τμήματος εργαστηριακών ερευνών της ζυθοποιίας Φιξ, της οποίας η οικογένειά του ήταν συνιδιοκτήτρια.
Μαζί με τα αδέλφια του δημιούργησε την εταιρεία Γεώργιος Δ. Γράτσος, η οποία λειτούργησε ως πράκτορας στην Ελλάδα των ναυτιλιακών επιχειρήσεων της οικογένειάς του. Στην εταιρεία αυτή παρέμεινε πρόεδρος μέχρι το τέλος της ζωής του. Κατά την διάρκεια του Β’ Παγκοσμίου Πολέμου, τα αδέλφια διαχειρίστηκαν με επιτυχία τρία πλοία.
Το 1935 ίδρυσε την ΒΙΧΑΡ Α.Ε., εταιρία με αντικείμενο την παραγωγή δεξτρίνης από σπόρους χαρουπιάς και την εξαγωγή των υποπροϊόντων της. Το εργοστάσιο καταστράφηκε ολοσχερώς κατά τον βομβαρδισμό του Πειραιά από τους Γερμανούς στον πόλεμο.
Ο Άλκιμος Γράτσος πολέμησε ως αξιωματικός του στρατού και αργότερα προσχώρησε στην αντίσταση, βοηθώντας την απόδραση Συμμάχων αεροπόρων, τα αεροπλάνα των οποίων είχαν καταρριφθεί κατά την διάρκεια επιχειρήσεων στην Ελλάδα. Για τις υπηρεσίες του αυτές αλλά και για την συνεισφορά του στην ελληνική ναυτιλία του απονεμήθηκαν το παράσημο του Ταξιάρχη του Τάγματος του Φοίνικος καθώς και άλλα μετάλλια.
Το 1947 ταξίδεψε με πλοίο στις Ηνωμένες Πολιτείες όπου και συνενώθηκε με τα αδέλφια του στο γραφείο της οικογενειακής τους επιχείρησης στην Νέα Υόρκη. Η οικογένεια πήρε πέντε από τα 100 συνολικά Liberty που οι ΗΠΑ διέθεσαν σε Έλληνες. Όταν η Ιθάκη χτυπήθηκε από τον σεισμό του 1953, τα αδέλφια βοήθησαν στην αναδόμηση του νησιού, δωρίζοντας τρεις πετρελαιοκίνητες γεννήτριες καθώς και όλον τον αναγκαίο για την παραγωγή ηλεκτρικού ρεύματος λοιπό μηχανολογικό εξοπλισμό. Για την προσφορά τους αυτή το 1961 τους απονεμήθηκε Βασιλικός Έπαινος.
Με πρωτοβουλία του Άλκιμου, τα αδέλφια αγόρασαν το 1955 ένα ορυχείο βαρίτη στην Μύκονο, τον οποίον και εξήγαγαν μεταφέροντάς τον σε διάφορα αμερικανικά λιμάνια.
Εκτός από την διοίκηση της ζυθοποιίας Φιξ, είχε την διεύθυνση της Χαρτοβιομηχανίας Αιγίου, της Helmes Shipping Lines, της Εμπορικής Τράπεζας της Ελλάδας και της Ασφαλιστικής Εταιρίας Φοίνιξ.
Το 1967 οι ναυτιλιακές δραστηριότητες της οικογένειας στην Ελλάδα συνενώθηκαν σε μια επιχείρηση. Διαχειριζόμενη στην αρχή φορτηγά πλοία γενικού φορτίου και ακολούθως φορτηγά χύδην φορτίου μεγέθους panamax, η επιχείρηση μετεξελίχθηκε σε μια νέα εταιρεία διαχείρισης πλοίων, την Standard Bulk Transport Corporation, την οποία διοικούσαν οι γιοι του, Γεώργιος και Κωνσταντίνος Γράτσος.
Από το 1963 έως το 1977, ο Άλκιμος Γράτσος διετέλεσε πρόεδρος του Ναυτικού Επιμελητηρίου της Ελλάδας καθώς και για 12 χρόνια αντιπρόεδρος της Ένωσης Ελλήνων Εφοπλιστών (ΕΕΕ).
